問 向量積三階行列式第二項為什么是減號

向量積三階行列式第二項為什么是減號？這個問題看起來似乎很簡單，但其實背后蘊含著行列式的一些基本性質(zhì)和展開規(guī)則。讓我來為你詳細(xì)解答這個問題。

首先，三階行列式的展開通常采用“拉普拉斯展開式”，也就是按照某一行或某一列展開。通常我們會選擇展開第一行，因為它的元素位置明確，計算起來也比較方便。假設(shè)我們有一個3x3的矩陣A：

按照第一行展開，三階行列式的計算公式為：

$\backslash det(A)\; =\; a\_\{11\}\; \backslash cdot\; M\_\{11\}\; a\_\{12\}\; \backslash cdot\; M\_\{12\}\; +\; a\_\{13\}\; \backslash cdot\; M\_\{13\}$

這里，M_{ij}表示對應(yīng)于元素a_{ij}的余子式，也就是去掉第i行和第j列后剩下的2x2矩陣的行列式。而代數(shù)余子式則是余子式乘以(1)^{i+j}的結(jié)果。

注意到在展開式中，第二項的符號是減號。這是因為代數(shù)余子式的符號由(1)^{i+j}決定。對于第一行的第二個元素a_{12}，它的位置是第1行第2列，所以i=1，j=2，因此(1)^{1+2} = (1)^3 = 1。這個負(fù)號直接作用于第二項，導(dǎo)致第二項在展開式中是減號。

舉個具體的例子，假設(shè)我們有一個矩陣：

按照第一行展開，行列式為：

$\backslash det(A)\; =\; 1\; \backslash cdot\; (5\; \backslash cdot\; 9\; 6\; \backslash cdot\; 8)\; 2\; \backslash cdot\; (4\; \backslash cdot\; 9\; 6\; \backslash cdot\; 7)\; +\; 3\; \backslash cdot\; (4\; \backslash cdot\; 8\; 5\; \backslash cdot\; 7)$

計算一下：

$=\; 1\; \backslash cdot\; (45\; 48)\; 2\; \backslash cdot\; (36\; 42)\; +\; 3\; \backslash cdot\; (32\; 35)\; \backslash \backslash =\; 1\; \backslash cdot\; (3)\; 2\; \backslash cdot\; (6)\; +\; 3\; \backslash cdot\; (3)\; \backslash \backslash =\; 3\; +\; 12\; 9\; \backslash \backslash =\; 0$

這個結(jié)果可能是0，但這里的關(guān)鍵是展開式中的第二項確實是減號，這驗證了我們的解釋。

總結(jié)來說，向量積三階行列式第二項是減號，是因為在展開式中，第二項對應(yīng)的代數(shù)余子式的符號為負(fù)，而這個符號是由行列式的基本性質(zhì)決定的，具體來說，是由(1)^{i+j}的規(guī)則決定的。理解這一點，有助于我們更好地掌握行列式的計算和應(yīng)用。