【如何求數(shù)列通項公式：（[10]對數(shù)法和倒數(shù)法）】在數(shù)列的學習中，求通項公式是常見的問題之一。根據(jù)數(shù)列的不同形式，可以采用多種方法進行求解。本文將重點介紹“對數(shù)法”和“倒數(shù)法”這兩種適用于特定類型數(shù)列的求通項技巧，并通過實例說明其應用方式。
一、對數(shù)法
適用條件：當數(shù)列的遞推關(guān)系為乘積或指數(shù)形式時，如 $ a_{n+1} = a_n \cdot r^n $ 或 $ a_{n+1} = a_n^r $ 等。
基本思路：通過對數(shù)變換將乘法轉(zhuǎn)化為加法，簡化遞推關(guān)系，從而更容易求出通項。
步驟：
1. 對數(shù)列兩邊取對數(shù)；
2. 將遞推式轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系；
3. 求解線性遞推式；
4. 反向取指數(shù)得到通項公式。
示例：
已知數(shù)列滿足 $ a_1 = 2 $，$ a_{n+1} = 2a_n $，求通項公式。
解：
$$
\log a_{n+1} = \log(2a_n) = \log 2 + \log a_n
$$
令 $ b_n = \log a_n $，則有：
$$
b_{n+1} = b_n + \log 2
$$
這是一個等差數(shù)列，首項 $ b_1 = \log 2 $，公差為 $ \log 2 $，故：
$$
b_n = \log 2 + (n - 1)\log 2 = n \log 2
$$
因此：
$$
a_n = 10^{b_n} = 10^{n \log 2} = 2^n
$$
二、倒數(shù)法
適用條件：當數(shù)列的遞推關(guān)系為分式形式時，如 $ a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + a_n} $ 或 $ a_{n+1} = \frac{1}{a_n + c} $ 等。
基本思路：通過對數(shù)列取倒數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為線性或更易處理的形式，進而求得通項。
步驟：
1. 對數(shù)列取倒數(shù)；
2. 將遞推式轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系；
3. 求解線性遞推式；
4. 取倒數(shù)得到原數(shù)列的通項。
示例：
已知數(shù)列滿足 $ a_1 = 1 $，$ a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + a_n} $，求通項公式。
解：
令 $ b_n = \frac{1}{a_n} $，則：
$$
a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + a_n} \Rightarrow \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1 + a_n}{a_n} = \frac{1}{a_n} + 1
$$
即：
$$
b_{n+1} = b_n + 1
$$
這是一個等差數(shù)列，首項 $ b_1 = 1 $，公差為 1，故：
$$
b_n = 1 + (n - 1) = n
$$
因此：
$$
a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{1}{n}
$$
三、對比總結(jié)
| 方法 | 適用類型 | 基本思路 | 示例數(shù)列 | 通項公式 |
| 對數(shù)法 | 指數(shù)或乘積型遞推 | 對數(shù)變換后轉(zhuǎn)為線性 | $ a_{n+1} = 2a_n $ | $ a_n = 2^n $ |
| 倒數(shù)法 | 分式型遞推 | 取倒數(shù)后轉(zhuǎn)為線性 | $ a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + a_n} $ | $ a_n = \frac{1}{n} $ |
四、總結(jié)
對數(shù)法和倒數(shù)法是兩種常用的數(shù)列通項求解方法，分別適用于不同類型的遞推關(guān)系。掌握這兩種方法不僅有助于解決具體問題，也能提升對數(shù)列結(jié)構(gòu)的理解能力。在實際應用中，應結(jié)合數(shù)列的遞推形式選擇合適的方法，靈活運用數(shù)學工具，提高解題效率。
