【已知特征值求特征向量怎么求?】在矩陣?yán)碚撝?，特征值和特征向量是重要的概念，尤其在?shù)學(xué)、物理、工程以及計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。當(dāng)我們已知一個(gè)矩陣的特征值時(shí)，如何求出對(duì)應(yīng)的特征向量呢？下面將詳細(xì)總結(jié)這一過程，并通過表格形式進(jìn)行清晰展示。
一、基本概念回顧
- 特征值（Eigenvalue）：設(shè) $ A $ 是一個(gè) $ n \times n $ 的矩陣，若存在非零向量 $ \mathbf{v} $ 和標(biāo)量 $ \lambda $，使得
$$
A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
$$
則稱 $ \lambda $ 是矩陣 $ A $ 的一個(gè)特征值，$ \mathbf{v} $ 是對(duì)應(yīng)于 $ \lambda $ 的特征向量。
- 特征向量：滿足上述等式的非零向量稱為特征向量，它表示在該方向上矩陣對(duì)向量的拉伸或壓縮作用。
二、已知特征值求特征向量的步驟
1. 構(gòu)造方程：根據(jù)定義，將特征值代入方程 $ (A - \lambda I)\mathbf{v} = 0 $，其中 $ I $ 是單位矩陣。
2. 求解齊次線性方程組：解這個(gè)齊次方程組，得到所有可能的非零解。
3. 確定特征向量：非零解即為所求的特征向量，通常以列向量的形式表示。
三、具體步驟總結(jié)（表格形式）
| 步驟 | 操作說(shuō)明 | 舉例 |
| 1 | 將已知特征值 $ \lambda $ 代入 $ A - \lambda I $ | 若 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $，且 $ \lambda = 3 $，則 $ A - 3I = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} $ |
| 2 | 構(gòu)造齊次方程組 $ (A - \lambda I)\mathbf{v} = 0 $ | 即 $ \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $ |
| 3 | 解這個(gè)方程組，找到所有非零解 | 方程組化簡(jiǎn)得 $ -x + y = 0 $，即 $ y = x $，所以通解為 $ \mathbf{v} = t \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} $，其中 $ t \neq 0 $ |
| 4 | 特征向量即為這些非零解 | 所以 $ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} $ 是對(duì)應(yīng)于 $ \lambda = 3 $ 的一個(gè)特征向量 |
四、注意事項(xiàng)
- 特征向量不唯一：同一特征值可能有多個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。
- 零向量不能作為特征向量：必須是非零向量。
- 特征向量的方向與特征值的符號(hào)有關(guān)：正負(fù)號(hào)表示方向的變化。
五、小結(jié)
已知特征值求特征向量的核心在于構(gòu)建并求解齊次線性方程組。通過代入特征值、構(gòu)造矩陣差、解方程，最終可以得到對(duì)應(yīng)的特征向量。這一過程雖然看似簡(jiǎn)單，但理解其背后的幾何意義和代數(shù)操作是掌握線性代數(shù)的關(guān)鍵之一。
如需進(jìn)一步了解如何從矩陣中求出特征值，也可以參考相關(guān)知識(shí)，以便形成完整的知識(shí)體系。
